Többszörösen metsz® halmazrendszerek

Jelölje [n] az {1, 2, ..., n} halmazt, 2[n] pedig [n] összes részhalmazát. Vegyünk egy F ⊂ 2[n] halmazrendszert. |F| maximumát keressük, ha bármely r részhalmaz metszete legalább s elem¶, és bármely ` különböz® halmaz metszete legfeljebb t elem¶, a paraméterek különféle vásztása mellett. Az r = 2, s = t = 1 esetben, tehát amikor bármely két halmaz metszete nemüres, de bármely ` különböz® halmaz metszete legfeljebb egy elem¶, megmutatjuk, hogy |F| ≤ (` − 1)n és ez aszimptotikusan a legjobb korlát. Egy masik fontos specialis eset, amikor r = `, s = t, azaz, amikor bármely ` különböz® halmaz metszete pontosan t elem¶. Itt belátjuk, hogy |F| ≤ ⌊ ` 2(n− t)⌋ + 1 ha n elég nagy. Ez esetben az optimális család triviális, tehát azt is vizsgáljuk, hogy mi az optimum, ha kizárjuk a triviális konstrukciót, amikor az összes halmaz tartalmaz egy adott t-elem¶ halmazt. Az általános esetet csak azon feltétel mellett sikerült megoldani, amikor t ≥ 2s ≥ 2, r, ` ≥ 2, fennáll, ez természetesen nem tartalmazza a fent tárgyalt eseteket. Ekkor |F| ≤∑t−s i=0 (n−s i )+ t+`−s t+2−s( n−s t+1−s)+ `− 2 és ez aszimptotikusan legjobb korlát, ha a paraméterek rögzïtettek és n →∞. A cikk a szerz® idegen nyelven megjelen® 3 cikkének (egyik Füredi Zoltánnal közös) összefoglalása.